從最近幾年行測考情來看，極值問題是數量關系中的常考題型，特別是一元二次函數求極值的問題考查頻次較高。今天MVP學習網帶大家來了解一下一元二次函數求極值問題。
一元二次函數求極值問題，實際上就是根據題干所給的信息條件，可以將所求問題表示成關于某個未知量的一元二次函數，然后根據函數解析式的特點確定在何時取極值的過程。
1.利用圖像特點：
一元二次函數的一般式為由圖像可知a>0時，開口向上，在對稱軸處y取最小值;a<0時，開口向下，在對稱軸處y取最大值。如下圖：
若函數是y=(ax+m)(bx+n)，的形式，這可以令y=0，求此時得x的兩個取值x1和x2，則函數y的對稱軸為在對稱軸處，函數y取最大值或最小值。
2.若函數可以寫成y=k(x-p)(q-x)，的形式，也可以考慮利用均值不等式相關結論來求最值。因為(x-p)與(q-x)的和為定值，根據和一定，乘積有最大值的結論，當且僅當(x-p)=(q-x)時，(x-p)×(q-x)有最大值，再結合k的符號，即可確定此時y的最值。
某商品的進貨單價為80元，銷售單價為100元，每天可售出120件。已知銷售單價每降低1元，每天可多售出20件。若要實現該商品的銷售利潤最大化，則銷售單價應降低的金額是：
A.5元 B.6元 C.7元 D.8元
【答案】C。核心解析：由利潤公式可知，總利潤=(銷售單價-進貨單價)×銷售量，但銷售單價和銷售量均和降價的多少有關，不妨設銷售單價應降低x元，則每天可多售出20x件，銷售的總利潤為y，此時y=(100-x-80)×(120+20x)。由此發現，此題為一元二次函數求極值問題。
方法一：由上式，括號打開化簡后可得：總利潤y=-20x2+280x+2400。此時，a=-20<0，故y的圖像為開口向下，且在對稱軸處有最大值，y最大，即銷售單價降低7元時，總利潤最大。
方法二：由上式，化簡后可得：由上總利潤y=(20-x)×(120+20x)，令y=0，可得x=20或者x=-6，則函數y的對稱軸為結合開口方向，此時y取最大值，即銷售單價降低7元時，總利潤最大。
方法三：由上式，化簡后可得：由上總利潤y=20(20-x)×(6+x)，此時(20-x)+(x+6)=14，二者和為定值，由均值不等式結論，故當且僅當(20-x)=(x+6)時，(20-x)×(x+6)有最大值，即y有最大值，此時x=7，即銷售單價降低7元時，總利潤最大。
綜上，答案選擇C項。
北京冬奧會期間，冬奧會吉祥物“冰墩墩”紀念品十分暢銷。銷售期間某商家發現，進價為每個40元的“冰墩墩”，當售價定為44元時，每天可售出300個，售價每上漲1元，每天銷量減少10個。現商家決定提價銷售，若要使銷售利潤達到最大，則售價應為：
A.51元 B.52元 C.54元 D.57元
【答案】D。核心解析：由利潤公式可知，銷售利潤=(售價-進價)×銷量，而售價和銷量均和漲價多少有關，故可設漲價x元，銷量則會減少10x個，設銷售利潤為y，則y=(44+x-40)×(300-10x)。由此發現，此題為一元二次函數求極值問題。
方法一：由上式，括號打開化簡后可得：銷售利潤y=-10x2+260x+1200。此時，a=-10<0，故y的圖像為開口向下，在對稱軸處有最大值，y最大，即售價上漲13元至57元時，銷售利潤最大。
方法二：由上式，化簡后可得：y=(4+x)×(300-10x)。令y=0，可得x=-4或者x=30，則函數y的對稱軸為結合開口方向，此時y取最大值，即售價上漲13元至57元時，銷售利潤最大。
方法三：由上式，化簡后可得：由上y=10(x+4)×(30-x)。此時(x+4)+(30-x)=34，二者和為定值，由均值不等式結論，故當且僅當(x+4)=(30-x)時，(x+4)×(30-x)有最大值，即y有最大值，此時x=13，即售價上漲13元至57元時，銷售利潤最大。
綜上，答案選擇D項。
通過以上兩道例題我們可以看出，一元二次函數求極值的關鍵在于：1.快速得到所求與未知量之間的函數解析式;2.根據函數解析式的形式或者思維習慣選擇適當的方法確定函數在何處取極值。希望大家通過學習該方法，能夠在平時練習時，有效解決此類問題。
